Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {{m^2} - m + 1} \...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm hai điểm cực tiểu A, B của hàm số và tính AB.

+) Phân tích để làm xuất hiện hằng đẳng thức và tìm GTNN của AB.

Giải chi tiết:

TXĐ : \(D = R\)

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4\left( {{m^2} - m + 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2} - m + 1 > 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(y' = 0\) luôn có 3 nghiệm phân biệt \(\forall m\).

Khi đó ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = m - 1\\x = \sqrt {{m^2} - m + 1}  \Rightarrow y =  - {\left( {{m^2} - m + 1} \right)^2} + m - 1\\x =  - \sqrt {{m^2} - m + 1}  \Rightarrow y =  - {\left( {{m^2} - m + 1} \right)^2} + m - 1\end{array} \right.\)

Hàm số có hai điểm cực tiểu là

\(\begin{array}{l}A\left( {\sqrt {{m^2} - m + 1} ; - {{\left( {{m^2} - m + 1} \right)}^2} + m - 1} \right);\,\,B\left( { - \sqrt {{m^2} - m + 1} ; - {{\left( {{m^2} - m + 1} \right)}^2} + m - 1} \right)\\ \Rightarrow AB = 2\sqrt {{m^2} - m + 1}  = 2\sqrt {{{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}  \ge 2\sqrt {\frac{3}{4}}  = \sqrt 3 \\ \Rightarrow A{B_{\min }} = \sqrt 3 \end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

Chọn D.