Giả sử hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến tr...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lấy căn bậc hai hai vế, sử dụng công thức \(\left( \sqrt{f\left( x \right)} \right)'=\frac{f'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}\).

Giải chi tiết:

\(\begin{align}  {{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}=\left( x+1 \right)f\left( x \right)\Leftrightarrow f'\left( x \right)=\sqrt{x+1}\sqrt{f\left( x \right)}\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty  \right) \\  \Leftrightarrow \frac{f'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}=\frac{\sqrt{x+1}}{2}\Leftrightarrow \int\limits_{3}^{8}{\frac{f'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}dx}=\int\limits_{3}^{8}{\frac{\sqrt{x+1}}{2}dx}=\frac{19}{3} \\  \Leftrightarrow \left. \sqrt{f\left( x \right)} \right|_{3}^{8}=\frac{19}{3}\Leftrightarrow \sqrt{f\left( 8 \right)}-\sqrt{f\left( 3 \right)}=\frac{19}{3}\Leftrightarrow \sqrt{f\left( 8 \right)}=\sqrt{\frac{2}{3}}+\frac{19}{3} \\  \Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( 8 \right)={{\left( \sqrt{\frac{2}{3}}+\frac{19}{3} \right)}^{4}}\approx 2613,26\in \left( 2013;2014 \right) \\ \end{align}\)

Chọn A.