Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích V, M, N, P,...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tỉ lệ thể tích.

Giải chi tiết:

Tam giác BPQ và tam giác BCD đồng dạng theo tỉ số \(\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{{{S}_{BPQ}}}{{{S}_{BCD}}}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{{{V}_{A.BPQ}}}{{{V}_{A.BCD}}}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow {{V}_{A.PQCD}}=\frac{3}{4}{{V}_{ABCD}}\)

Ta có: \(\frac{{{V}_{A.MNP}}}{{{V}_{A.CDP}}}=\frac{AM}{AC}.\frac{AN}{AD}=\frac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{A.MNP}}=\frac{1}{4}{{V}_{A.CDP}}\)

Ta có

\(\begin{align}  {{S}_{PQCD}}=\frac{3}{4}{{S}_{BCD}};\,\,{{S}_{CDP}}=\frac{1}{2}{{S}_{BCD}} \\  \Rightarrow \frac{{{S}_{CDP}}}{{{S}_{PQCD}}}=\frac{2}{3}\Rightarrow {{V}_{A.CDP}}=\frac{2}{3}{{V}_{A.PQCD}}\Rightarrow {{V}_{A.MNP}}=\frac{1}{6}{{V}_{A.PQCD}} \\  \frac{{{V}_{A.MQP}}}{{{V}_{A.CQP}}}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{A.MQP}}=\frac{1}{2}{{V}_{A.CQP}} \\  {{S}_{CPQ}}=\frac{1}{3}{{S}_{PQCD}}\Rightarrow {{V}_{A.CPQ}}=\frac{1}{3}{{V}_{A.PQCD}}\Rightarrow {{V}_{A.MQP}}=\frac{1}{6}{{V}_{A.PQCD}} \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow {{V}_{A.MNPQ}}={{V}_{A.MNP}}+{{V}_{A.MQP}}=\frac{1}{6}{{V}_{A.PQCD}}+\frac{1}{6}{{V}_{A.PQCD}}=\frac{1}{3}{{V}_{A.PQCD}}=\frac{1}{4}{{V}_{ABCD}}=\frac{V}{4}\)

Chọn C.