Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hàm số \(y={{x}^{n}}\) với \(n\notin Z\) xác định \(\Leftrightarrow x>0\).

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định của hàm số \(y={{\left( {{x}^{2}}-3x+m \right)}^{\frac{1}{2}}}\) là \({{x}^{2}}-3x+m>0\)

\(\Delta =9-4m\)

+) Nếu \(\Delta <0\Leftrightarrow m>\frac{9}{4}\) thì \({{x}^{2}}-3x+m>0,\,\,\forall x\Rightarrow m>\frac{9}{4}\): Thỏa mãn. 

+) Nếu \(\Delta =0\Leftrightarrow m=\frac{9}{4}\) thì \({{x}^{2}}-3x+\frac{9}{4}={{\left( x-\frac{3}{2} \right)}^{2}}>0,\,\,\forall x\ne \frac{3}{2}\)

Mà \(x=\frac{3}{2}\in \left( -2;3 \right)\Rightarrow m=\frac{9}{4}\): Không thỏa mãn.

+) Nếu \(\Delta >0\Leftrightarrow m<\frac{9}{4}\) thì phương trình \({{x}^{2}}-3x+m=0\) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\)

Theo Vi ét:  \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3,\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m\)

Do \(a=1>0\Rightarrow \) Để  \({{x}^{2}}-3x+m>0\), \(\forall x\in \left( -2;3 \right)\) thì  \(\left[ \begin{align}  & {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<-2 \\ & 3<{{x}_{1}}<{{x}_{2}} \\\end{align} \right.\)

TH1: \({x_1} < {x_2} < - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) > 0\\
\left( {{x_1} + 2} \right) + \left( {{x_2} + 2} \right) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 > 0\\
\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 3 + 4 > 0\\
3 + 4 < 0
\end{array} \right.\) (vô lý)

TH2:\(3 < {x_1} < {x_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right) > 0\\
\left( {{x_1} - 3} \right) + \left( {{x_2} - 3} \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 > 0\\
\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - 9 + 4 > 0\\
3 - 6 > 0
\end{array} \right.\) (vô lý)

Vậy, tập tất cả các giá trị của m để hàm số \(y={{\left( {{x}^{2}}-3x+m \right)}^{\frac{1}{2}}}\) xác định trên khoảng \(\left( -2;3 \right)\) là \(\left( \frac{9}{4};+\infty  \right)\)

Mà m là số nguyên nhỏ hơn 100 \(\Rightarrow m\in \left\{ 3;4;5;6;...;99 \right\}\)

Số giá trị của m thỏa mãn là:  \(99-3+1=97\) (số).

Chọn: B