Tìm hệ số của \({{x}^{3}}\) sau khi khai triển và...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tổng quát khai triển nhị thức Newton để tìm số hạng

Giải chi tiết:

Ta có \({{\left( \frac{1}{x}-x+2{{x}^{2}} \right)}^{9}}={{\left( \frac{1-{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}}{x} \right)}^{9}}=\frac{{{\left( 1-{{x}^{2}}+2{{x}^{3}} \right)}^{9}}}{{{x}^{9}}}.\)

Để tìm hệ số của \({{x}^{3}},\) ta đi tìm hệ số của \({{x}^{12}}\) trong khai triển \(P={{\left( 1-{{x}^{2}}+2{{x}^{3}} \right)}^{9}}.\)

Xét khai triển \(P=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{\left( 2{{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)}^{k}}\Rightarrow \left[ \begin{align}  & k=6 \\  & k=5 \\  & k=4 \\ \end{align} \right.}\) thỏa mãn để tìm hệ số \({{x}^{12}}.\)

+) Với \(k=6\Rightarrow \) hệ số \({{x}^{12}}\) là \(C_{9}^{6}.{{\left( -1 \right)}^{6}}=84.\)

+) Với \(k=4\Rightarrow \) hệ số \({{x}^{12}}\) là \(C_{9}^{4}{{.2}^{4}}=2016.\)

+) Với \(k=5\Rightarrow P=C_{9}^{k}{{\left( 2{{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)}^{k}}=126{{x}^{10}}{{\left( 2x-1 \right)}^{5}}=126{{x}^{10}}.\sum\limits_{k'=0}^{5}{C_{5}^{k'}.{{\left( 2x \right)}^{{{k}'}}}.{{\left( -\,1 \right)}^{5\,\,-\,\,{k}'}}}\)

Suy ra \({k}'=2\) \(\xrightarrow{{}}\) Hệ số cần tìm là \(126.C_{5}^{2}{{.2}^{2}}.{{\left( -1 \right)}^{5\,\,-\,\,2}}=-\ 5040.\)

Vậy hệ số cần tìm là \(84+2016-5040=-\,2940.\)

Chọn C