Cho tứ diện \(ABCD,\) gọi \(M,\,N\) lần lượt là tr...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bước 1. Chứng minh góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(MP,\,NP\) trong đó \(P\) là trung điểm của \(BD.\)

Bước 2. Áp dụng định lý cosin trong tam giác để tính góc \(\widehat {MPN}.\)

Giải chi tiết:

Gọi \(P\) là trung điểm của \(BD.\) Khi đó do \)(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,AD\) nên ta có \(MP// = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{a}{2},\,\,\,NP// = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}.\)

Do đó \(\left( {\widehat {AB,\,CD}} \right) = \left( {\widehat {MP,\,NP}} \right).\)

Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(MPN\) ta có

\(c{\rm{os}}\widehat {MPN} = \dfrac{{M{P^2} + N{P^2} - M{N^2}}}{{2MP.NP}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}}} = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {MPN} = {120^0}.\)

Kéo theo \(\left( {\widehat {MP,\,NP}} \right) = {180^0} - {120^0} = {60^0}.\)

Vì vậy \(\left( {\widehat {AB,\,CD}} \right) = {60^0}.\)

Chọn C.