1. Biết a,b là các số tự nhiên và...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Ta có: \(a\,\, \vdots \,\,m;\,\,\,b\,\, \vdots \,\,m \Rightarrow \left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,m\)

Giải chi tiết:

1. Ta có: \(7a + 2017b = 7\left( {a + b} \right) + 2016b.\)Mà\(\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,6 \Rightarrow 7\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,6\)

Lại có\(2016\,\, \vdots \,\,6 \Rightarrow 2016b\,\, \vdots \,\,6 \Rightarrow \left( {7\left( {a + b} \right) + 2016b} \right)\,\, \vdots \,\,6.\)

\( \Rightarrow \left( {7a + 2017b} \right)\,\, \vdots \,\,6\,\,\left( {dpcm} \right).\)

2. Ta có:   \(A = {3^0} + {3^1} + {3^2} + .... + {3^{2015}} + {3^{2016}} = 1 + B.\)

Với \(B = {3^1} + {3^2} + .... + {3^{2015}} + {3^{2016}}.\)

Số các số hạng của B là: \(\left( {2016 - 1} \right):1 + 1 = 2016\) số hạng.

\(\eqalign{ &  \Rightarrow B = \left( {{3^1} + {3^2}} \right) + \left( {{3^3} + {3^4}} \right) + ........... + \left( {{3^{2015}} + {3^{2016}}} \right)  \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {1 + 3} \right) + {3^3}\left( {1 + 3} \right) + ........... + {3^{2015}}\left( {1 + 3} \right)  \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4\left( {3 + {3^3} + {3^5} + ............ + {3^{2015}}} \right)\,\,\,\,\, \vdots \,\,4  \cr  & hay\,\,\,\,B\,\, \vdots \,\,4\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)

Lại có:

\(\eqalign{&   B = \left( {{3^1} + {3^2} + {3^3}} \right) + \left( {{3^4} + {3^5} + {3^6}} \right) + ........... + \left( {{3^{2014}} + {3^{2015}} + {3^{2016}}} \right)  \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + {3^4}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + ........... + {3^{2014}}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)  \cr  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\left( {3 + {3^4} + {3^7} + ............ + {3^{2014}}} \right)\,  \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 13\left( {3 + {3^4} + {3^7} + ............ + {3^{2014}}} \right)\,\,\,\,\, \vdots \,\,13  \cr & hay\,\,\,\,B\,\, \vdots \,\,13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow B\,\, \vdots \,\,52\)

Mà \(A = B + 1 \Rightarrow A\,\) chia cho 52 dư 1.