Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình.

Giải chi tiết:

\(\begin{align}  \,\,\,\,\,\sin x\sqrt[2018]{2019-{{\cos }^{2}}x}-\left( \cos x+m \right)\sqrt[2018]{2019-{{\sin }^{2}}x+{{m}^{2}}+2m\cos x}=\cos x-\sin x+m \\  \Leftrightarrow \sin x\left( \sqrt[2018]{2019-{{\cos }^{2}}x}-1 \right)=\left( \cos x+m \right)\left( \sqrt[2018]{2019-{{\sin }^{2}}x+{{m}^{2}}+2m\cos x}-1 \right) \\  \Leftrightarrow \sin x\left( \sqrt[2018]{2019-\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)}-1 \right)=\left( \cos x+m \right)\left( \sqrt[2018]{2019-\left( 1-{{\cos }^{2}}x-{{m}^{2}}-2m\cos x \right)}-1 \right) \\  \Leftrightarrow \sin x\left( \sqrt[2018]{2019-\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)}-1 \right)=\left( \cos x+m \right)\left( \sqrt[2018]{2019-\left( 1-{{\left( \cos x+m \right)}^{2}} \right)}-1 \right) \\  \Leftrightarrow \sin x\left( \sqrt[2018]{2018+{{\sin }^{2}}x}-1 \right)=\left( \cos x+m \right)\left( \sqrt[2018]{2018+{{\left( \cos x+m \right)}^{2}}}-1 \right) \\ \end{align}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=t\left( \sqrt[2018]{2018+{{t}^{2}}}-1 \right)\,\,\,\left( t\in \left[ -1;1 \right] \right)\) ta có:

\(f'\left( t \right)=\sqrt[2018]{2018+{{t}^{2}}}-1+t.\frac{1}{2018}{{\left( 2018+{{t}^{2}} \right)}^{\frac{-2017}{2018}}}.2t\ge 0\,\,\forall t\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ -1;1 \right]\).

\(\Rightarrow \sin x=\cos x+m\Leftrightarrow \sin x-\cos x=m\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=m\)

Để phương trình có nghiệm thực \(\Leftrightarrow m\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]\). Mà m nguyên nên \(m\in \left\{ -1;0;1 \right\}\).

Chọn B.