a) Giải phương trình sau:\(\sqrt {9{x^2} - 12x +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân tích bài toán:

Câu a là dạng phương trình cơ bản: \(\sqrt A  = B\). Để giải dạng toán này các em cần lưu ý hai điều:

      Trước tiên, các em phải có điều kiện cho bài toán: \(B \ge 0\)

      Sau đó, các em xem xét biểu thức trong căn:

+)  Nếu biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng một hằng đẳng thức:  \({\left( {a \pm b} \right)^2}\)  thì khi đó các em làm như sau: \(\sqrt A  = B\)  ( điều kiện \(B \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a \pm b} \right)}^2}}  = B\\ \Leftrightarrow \left| {a \pm b} \right| = B\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {a \pm b} \right) = B\\\left( {a \pm b} \right) =  - B\end{array} \right.\\......\end{array}\)

Sau khi giải xong phải so sánh kết quả với điều kiện rồi nhận hoặc loại nghiệm.

+)  Nếu biểu thức trong căn không thể đưa về được hằng đẳng thức thì các em giải như sau:

\(\begin{array}{l}\,  \sqrt A  = B\\\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}B \ge 0\\{\left( {\sqrt A } \right)^2} = {B^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.\\......\end{array}\)

Tùy theo bài toán mà các em vận dụng làm bài cho tốt. Tất nhiên, với cách giải thứ hai thì sẽ tổng quát hơn, có thể vận dụng cho mọi bài toán dạng này. Câu b là một câu rút gọn đơn giản. Tôi chỉ lưu ý cá em cách bấm máy tính để suy ra hằng đẳng thức trong dấu căn thức. Các em nhớ luyện tập bấm cho thuần thục nhé. Máy tính tôi hướng dẫn là loại  f(x) 570Es Plus hoặc  f(x) 500Es.

Ví dụ 1: Ta bấm máy tính để tách căn thức trên: \(\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } \). Các em bấm:

Mode \( \Rightarrow \) “5” \( \Rightarrow \) “3”\( \Rightarrow \)  “1”\( \Rightarrow \)   “=”  \( \Rightarrow \)  “-7”  \( \Rightarrow \)   “=”  \( \Rightarrow \)   “\({\left( {4\sqrt 3 } \right)^2}:4\)” \( \Rightarrow \)  “=”  \( \Rightarrow \)  “=”

Máy tính hiện ra: x₁ = 4, x₂= 3 \( \Rightarrow \) ta tách số 7 ra được hai số 2²  và \({\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\)( ta lấy \(\sqrt {{x_1}} ,\sqrt {{x_2}} \)là ra số 2 và \(\sqrt 3 \) thôi)

\( \Rightarrow \sqrt {7 - 4\sqrt 3 }  = \sqrt {{2^2} - 4\sqrt 3  +{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2 - \sqrt 3 \)

Ví dụ 2: Ta bấm máy tính để tách căn thức trên: \(\sqrt {9 - 4\sqrt 2 } \). Các em bấm:

Mode \( \Rightarrow \) “5” \( \Rightarrow \) “3”\( \Rightarrow \)  “1”\( \Rightarrow \)   “=”  \( \Rightarrow \)  “-9”  \( \Rightarrow \)   “=”  \( \Rightarrow \)   “\({\left( {4\sqrt 2 } \right)^2}:4\)” \( \Rightarrow \)  “=”  \( \Rightarrow \)  “=”

Máy tính hiện ra: x₁ = 8, x₂= 1 \( \Rightarrow \) ta tách số 9 ra được hai số \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2}\)  và 1 ( ta lấy \(\sqrt{{x_1}} ,\sqrt {{x_2}} \)là ra số \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2}\) và 1 thôi)

\( \Rightarrow \sqrt {9 - 4\sqrt 2 }  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - 4\sqrt 2  + 1}  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2  - 1\)

Các loại máy tính khác các em cũng bấm tương tự, chỉ khác ở thao tác lúc đầu một chút. Ví dụ như máy vinacal thì bấm Mode 5 xong các em bấm nút con trỏ xuống rồi mới bấm số 1, sau đó thì bấm tương tự như trên.

Giải chi tiết:

a) Giải phương trình sau: \(\sqrt {9{x^2} - 12x + 4}  = 2x + 3\)

Cách 1:

Điều kiện bài toán: \(2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge  - 3 \Leftrightarrow x \ge  - \frac{2}{3}\) Khi đó, ta có:

\(\begin{array}{l} \,\sqrt {9{x^2} - 12x + 4}  = 2x + 3\\\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}  = 2x + 3\\ \Leftrightarrow \left| {3x - 2} \right| = 2x + 3\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 2 = 2x + 3\\3x - 2 =  - 2x - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 2x = 3 + 2\\3x + 2x =  - 3 + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\5x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {5^{}}\left( n \right)\\x =  - {\frac{1}{5}^{}}\left( n \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy:  \(S = \left\{ { - \frac{1}{5},5} \right\}\)

Cách 2:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {9{x^2} - 12x + 4}  = 2x + 3\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3 \ge 0\\{\left({\sqrt {9{x^2} - 12x + 4} } \right)^2} = {\left( {2x + 3}\right)^2}\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ge  - 3\\9{x^2} - 12x + 4 = 4{x^2} + 12x + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \frac{3}{2}\\5{x^2} - 24x - 5 = 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \frac{3}{2}\\5{x^2} - 25x + x - 5= 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \frac{3}{2}\\5x\left( {x - 5} \right) + \left( {x - 5} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \frac{3}{2}\\\left( {x - 5} \right).\left( {5x + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  -\frac{3}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x - 5 = 0\\5x + 1 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \frac{3}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\left( {tm} \right)\\x =  - \frac{1}{5}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy: \(S = \left\{ { - \frac{1}{5},5} \right\}\)

b) Rút gọn biểu thức:

\(\begin{array}{l}A = \left( {\sqrt 5  - 2} \right)\left( {\sqrt 5  + 2} \right) - \frac{{\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } }}{{\sqrt 3  - 2}}\\A = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - {2^2} + \frac{{\sqrt {{2^2} - 2.2.\sqrt 3  + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }}{{2 - \sqrt 3 }}\\A = 5 - 4 + \frac{{\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} }}{{2 - \sqrt 3 }}\\A = 1 + \frac{{\left| {2 - \sqrt 3 } \right|}}{{2 - \sqrt 3 }}\\A = 1 + \frac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }}\,\,\,\left( {2 - \sqrt 3  > 0} \right)\\A = 1 + 1\\A = 2\end{array}\)