Giả sử \(a,b\) là các số thực sao cho \({{x}^{3}}+...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\log \left( {x + y} \right) = z\\
\log \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = z + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = {10^z}\\
{x^2} + {y^2} = {10^{z\, + \,1}} = {10.10^z}
\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 10\left( {x + y} \right)\)

Thay \({{10}^{z}}=x+y\) vào \({{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a{{.10}^{3x}}+b{{.10}^{2x}}\), biến đổi, thế và đồng nhất hệ số.

Giải chi tiết:

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}
\log \left( {x + y} \right) = z\\
\log \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = z + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = {10^z}\\
{x^2} + {y^2} = {10^{z\, + \,1}} = {10.10^z}
\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 10\left( {x + y} \right)\)

Khi đó \({{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a{{.10}^{3z}}+b{{.10}^{2z}}\Leftrightarrow \left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)=a.{{\left( {{10}^{z}} \right)}^{3}}+b.{{\left( {{10}^{z}} \right)}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow \left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)=a.{{\left( x+y \right)}^{3}}+b.{{\left( x+y \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}=a.{{\left( x+y \right)}^{2}}+b.\left( x+y \right)\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}=a.\left( {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}} \right)+\frac{b}{10}.\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy=\left( a+\frac{b}{10} \right).\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2a.xy\)

Đồng nhất hệ số, ta được\(\left\{ \begin{array}{l}
a + \frac{b}{{10}} = 1\\
2a = - \,1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - \frac{1}{2}\\
b = 15
\end{array} \right..\) Vậy \(a+b=\frac{29}{2}.\)

Chọn D.