Cho bất phương trình \({{\log }_{7}}\left( {{x}^{...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình về bất phương trình bậc hai cơ bản

Giải chi tiết:

Điều kiện : \({{x}^{2}}+6x+5+m>0.\)

Ta có \({{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)+1>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right)\) 

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\log _7}\left( {7{x^2} + 14x + 14} \right) > {\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\\
\Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 6x + 5 + m > 0\\
7{x^2} + 14x + 14 > {x^2} + 6x + 5 + m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
6{x^2} + 8x + 9 > m\\
{x^2} + 6x + 5 > - \,m
\end{array} \right..
\end{array}\)

Xét hàm số \(\left\{ \begin{align} & f\left( x \right)=6{{x}^{2}}+8x+9 \\ & g\left( x \right)={{x}^{2}}+6x+5 \\ \end{align} \right.\).

Bất phương trình đã cho có tập nghiệm chứa khoảng \(\left( 1;3 \right)\Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{align} & m\le \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) \\ & -\,m\le \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right) \\ \end{align} \right..\)

Khảo sát từng hàm số \(f\left( x \right),\ \ g\left( x \right)\) ta được : 

\(\left\{ \begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 12x + 8\\
g'\left( x \right) = 2x + 6
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = - \frac{2}{3}\\
g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = - 3
\end{array} \right..\)

Ta thấy hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( -\frac{2}{3};+\infty \right),\) hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( -3;+\infty \right)\Rightarrow f\left( x \right),\ g\left( x \right)\) cùng đồng biến trên \(\left( 1;\ 3 \right).\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 23\\
\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 23\\
- m \le 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 12 \le m \le 23.\)

Kết hợp với \(m\in \mathbb{Z}\,\,\xrightarrow{{}}\) có tất cả 36 giá trị nguyên \(m\) cần tìm.

Chọn B