Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC l...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 - Phương pháp tọa độ hóa.

- Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian:

\(d\left( {{\Delta }_{1}};{{\Delta }_{2}} \right)=\frac{\left| \overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}.\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|},\,\,\left( {{M}_{1}}\in {{\Delta }_{1}};{{M}_{2}}\in {{\Delta }_{2}} \right)\)

Giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ (như hình vẽ):

\(A(0;0;0),\,\,B(0;a;0),\,C\left( \frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};0 \right),\,S(0;0;3a)\)

M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC \(\Rightarrow M(0;\frac{a}{2};0),\,N\left( \frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a}{4};\frac{3a}{2} \right)\) 

\(\Rightarrow \overrightarrow{AN}=\left( \frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a}{4};\frac{3a}{2} \right);\,\,\overrightarrow{CM}=\left( -\frac{a\sqrt{3}}{2};0;0 \right)\)

Đường thẳng AN có 1 VTCP \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( \sqrt{3};1;6 \right)\), đi qua điểm \(A(0;0;0)\).

Đường thẳng CM có 1 VTCP \(\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;0;0 \right)\), đi qua điểm \(M\left( 0;\frac{a}{2};0 \right)\).

\(\overrightarrow{AM}=\left( 0;\frac{a}{2};0 \right),\,\,\,\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 0;6;-1 \right)\)

\(d\left( AN;CM \right)=\frac{\left| \overrightarrow{AM}.\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}=\frac{\left| 0.0+\frac{a}{2}.6+0.(-1) \right|}{\sqrt{{{0}^{2}}+{{6}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{3a}{\sqrt{37}}\)

Chọn: A