Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh MN vuông góc DN, từ đó xác định D là giao điểm của đường thẳng DN và đường thẳng \(x - y - 3 = 0\).

Giải chi tiết:

*) Chứng minh MN vuông góc DN:

Ta có: \(\overrightarrow {AN}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AD}  + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {DN}  = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {DA}  + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {DC} \)

           \(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CN}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {CA}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {CB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BA} \\ = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {CB}  - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {DA}  - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {DC} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {DN} .\overrightarrow {MN}  = \left( {\dfrac{3}{4}\overrightarrow {DA}  + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {DC} } \right)\left( {\dfrac{1}{4}\overrightarrow {DA}  - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {DC} } \right)\\ = \dfrac{3}{{16}}D{A^2} - \dfrac{9}{{16}}\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DC}  + \dfrac{1}{{16}}\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DC}  - \dfrac{3}{{16}}D{C^2} = \dfrac{3}{{16}}D{A^2} - \dfrac{3}{{16}}D{C^2} = 0\end{array}\)

(do DC vuông góc DA và DA = DC)  \( \Rightarrow MN \bot DN\)

*) Viết phương trình đường thẳng DN :

\(\overrightarrow {MN}  = \left( { - \dfrac{5}{2}; - \dfrac{5}{2}} \right)\,\, \Rightarrow \) Đường thẳng DN có 1 VTPT là \(\left( {1;1} \right)\)

Phương trình đường thẳng DN:  \(1\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right) + 1.\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\)

*) Tìm tọa độ điểm D:

 Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 = 0\\x + y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {1; - 2} \right)\).

Chọn: B