Cho đa thức \(f\left( x \right) = a\,{x^3} + 2b{x^...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh phản chứng. Giả sử đồng thời tồn tại  \(f\left( 7 \right) = 73\) và \(f\left( 3 \right) = 58\). Ta chứng minh, điều giả sử là sai.

Giải chi tiết:

Giả sử tồn tại đồng thời \(f\left( 7 \right) = 73\) và \(f\left( 3 \right) = 58\) ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( 7 \right) = a{.7^3} + 2b{.7^2} + 3c + 4d = 343a + 98b + 3c + 4d\\f\left( 3 \right) = a{.3^3} + 2b{.3^2} + 3c + 4d = 27a + 18b + 3c + 4d\\ \Rightarrow f\left( 7 \right) + f\left( 3 \right) = \left( {343a + 27a} \right) + \left( {98a + 18b} \right) + \left( {3c + 3c} \right) + \left( {4d + 4d} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,370a + 116b + 6c + 8d\,\, \vdots \,2\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Mà theo giả thiết: \(f\left( 7 \right) + f\left( 3 \right) = 73 + 58 = 131\,\) không chia hết cho 2.      (2)

Từ (1) và (2) suy ra: Mâu thuẫn

 Giả thiết ban đầu là sai.

Vậy với \(f\left( x \right) = a\,{x^3} + 2b{x^2} + 3c + 4d\) với các hệ số \(a,b,c,d\) là các số nguyên. Thì không thể đồng thời tồn tại \(f\left( 7 \right) = 73\) và \(f\left( 3 \right) = 58\).