Trong cuộc thi giải trí toán học tổ chức nhân dịp...

Câu hỏi: Trong cuộc thi giải trí toán học tổ chức nhân dịp hoạt động chào mừng Ngày nhà giáo Việt Nam có một trò chơi như sau: Người ta thiết kế hai đường ray tạo với nhau một góc \({30^o}\) như hình vẽ dưới đây. Trên các đường thẳng \(Ox,Oy\) người ta để hai vật nặng cùng trọng lượng. Buộc hai vật thể với nhau bằng một thanh cứng \(AB = 1m\) sao cho mỗi vật đều có thể chuyển động trên hai đường ray. Nối hai vật bằng một sợi dây vòng qua một cột có gốc tại \(O.\) Người thắng cuộc sẽ là người kéo được vật thể ra xa nhất so với điểm gốc \(O.\) Hãy dùng kiến thức toán học để tính vị trí xa nhất mà người tham dự cuộc thi có thể đạt được.

A \(1m\)

B \(\sqrt 2 m\)

C \(\sqrt 3 m\)

D \(2m\)

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta sử dụng định lí hàm cosin vào tam giác \(OAB\) để tính \(AB\) , đánh giá biểu thức \(AB\) để tìm được vị trí xa nhất.

Giải chi tiết:

Đặt \(OB = x,OA = y\left( {x,y > 0} \right)\)

Theo định lí cosin ta có: \(A{B^2} = {x^2} + {y^2} - 2xy\cos {30^o} = {x^2} + {y^2} - \sqrt 3 xy\)

Theo giải thiết, ta có \(AB = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \sqrt 3 xy = 1\)

Xét PT bậc hai: \({y^2} - \sqrt 3 xy + {x^2} - 1 = 0\) . Phương trình có nghiệm \(y \Leftrightarrow \Delta = 3{x^2} - 4\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 0 < x \le 2\)

Vậy vị trí xa nhất mà học sinh có thể đạt được cách \(O\) một khoảng là \(2m.\)

Chọn D

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Đề online: Luyện tập hệ thức lượng trong tam giác - Có lời giải chi tiết

↑