Giải phương trình: \({x^2} - x - 4 = 2\sqrt {x - 1...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chuyển vế, nhóm nhân tử thành hằng đẳng thức \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\)

+) Đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai một ẩn.

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 1.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} - x - 4 = 2\sqrt {x - 1} \left( {1 - x} \right) \Leftrightarrow {x^2} - x - 4 = 2\sqrt {x - 1}  - 2x\sqrt {x - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x\sqrt {x - 1}  + x - 1 - 2\left( {x + \sqrt {x - 1} } \right) - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + \sqrt {x - 1} } \right)^2} - 2\left( {x + \sqrt {x - 1} } \right) - 3 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(x + \sqrt {x - 1}  = y\,\,\,\,\left( {y \ge 1} \right)\,\,\,\left( {**} \right)\), phương trình (*) trở thành

\({y^2} - 2y - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\y = 3\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(y = 3\) ta có phương trình: \(x + \sqrt {x - 1}  = 3 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  = 3 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x - 1 = 9 - 6x + {x^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm .