Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa \(d\) và \(d'\) là hình chiếu của nó trên \(\left( P \right).\)

Sử dụng định lý Py-ta-go tính các cạnh và công thức lượng giác: \(\tan \alpha  = \frac{{canh\;doi}}{{canh\;ke}}.\)  

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow SH \bot AB\).

Ta có: \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\;\;SH \bot AB\)\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SD,\;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SD,\;HD} \right) = \angle SDH = \alpha .\)

Áp dụng định lý Pytago với các tam giác vuông \(SAH,\;\;ADH\) ta có:

\(\begin{array}{l}SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {4{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}.\\DH = \sqrt {A{H^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\\ \Rightarrow \tan \alpha  = \frac{{SH}}{{DH}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}:\frac{{a\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 3 .\end{array}\)

Chọn A.