Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu \(\left( S...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Ta xác định điểm $H\left( {x;y;z} \right)$ sao cho $2.\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  = \overrightarrow 0$

- Từ đó biến đổi để có $2M{A^2} + M{B^2}$ lớn nhất khi $MH$ lớn nhất.

- $M{H_{\max }} = HI + R$ với $I,\,\,R$ là tâm và bán kính mặt cầu $\left( S \right)$.

Giải chi tiết:

Ta xác định điểm $H\left( {x;y;z} \right)$ sao cho $2.\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  = \overrightarrow 0$

$\overrightarrow {HA}  = \left( { - 1 - x;2 - y; - 3 - z} \right);\,\overrightarrow {HB}  = \left( {5 - x;2 - y;3 - z} \right)$  nên

$2.\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( { - 2 - 2x;4 - 2y; - 6 - 2z} \right) + \left( {5 - x;2 - y;3 - z} \right) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - 2x + 5 - x = 0\\4 - 2y + 2 - y = 0\\ - 6 - 2z + 3 - z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;2; - 1} \right)$

Ta có

$\begin{array}{l}2M{A^2} + M{B^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} = 2.{\left( {\overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {HA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {HB} } \right)^2}\\ = 2.\left( {M{H^2} + 2\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {HA}  + H{A^2}} \right) + \left( {M{H^2} + 2.\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {HB}  + H{B^2}} \right)\\ = 3M{H^2} + 2H{A^2} + H{B^2} + 2\overrightarrow {MH} \left( {2\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB} } \right)\\ = 3M{H^2} + 2H{A^2} + H{B^2}\,\,\left( {Do\,\,2.\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  = \overrightarrow 0 } \right)\end{array}$

Ta có $\overrightarrow {HA}  = \left( { - 2;0; - 2} \right);\,\overrightarrow {HB}  = \left( {4;0;4} \right) \Rightarrow H{A^2} = 8;H{B^2} = 32$ nên

$2M{A^2} + M{B^2} = 3M{H^2} + 2.8 + 32 = 3M{H^2} + 48$

Từ đó $2M{A^2} + M{B^2}$ lớn nhất khi $M{H^2}$ lớn nhất hay $MH$ lớn nhất.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {3;1;1} \right)$, bán kính $R = 2$.

Ta có $M{H_{\max }} = HI + R = \sqrt {4 + 1 + 4}  + 2 = 5$.

Như vậy $2M{A^2} + M{B^2}$ đạt GTLN là $3M{H^2} + 48 = 3.25 + 48 = 123$.

Chọn B.