Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Công suất của mạch điện: \(P = \dfrac{{{U^2}R}}{{{R^2} + {Z_L}^2}}\)

Bất đẳng thức Cô – si: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\))

Hệ số công suất của mạch: \(\cos \varphi  = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + {Z_L}^2} }}\)

Giải chi tiết:

Công suất của mạch là: \(P = UI\cos \varphi  = \dfrac{{{U^2}R}}{{{R^2} + Z_L^2}} = \dfrac{{{U^2}}}{{R + \dfrac{{Z_L^2}}{R}}}\)

Công suất đạt cực đại \({P_{\max }} \Leftrightarrow {\left( {R + \dfrac{{{Z_L}^2}}{R}} \right)_{\min }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:

\(R + \dfrac{{{Z_L}^2}}{R} \ge 2\sqrt {R.\dfrac{{{Z_L}^2}}{R}} \) (dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow R = {Z_L}\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {R + \dfrac{{{Z_L}^2}}{R}} \right)_{\min }} = 2{Z_L} \Leftrightarrow R = {Z_L}\\ \Rightarrow {P_{\max }} = \dfrac{{{U^2}}}{{2{Z_L}}} \Leftrightarrow \cos \varphi  = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + {Z_Z}^2} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array}\)

Từ đồ thị ta thấy tại thời điểm \({\varphi _1}\) công suất của mạch là:

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{3}{4}{P_{\max }} \Rightarrow \dfrac{{{U^2}.{R_1}}}{{{R_1}^2 + {Z_L}^2}} = \dfrac{3}{4}\dfrac{{{U^2}}}{{2{Z_L}}}\\ \Rightarrow 8{Z_L}.{R_1} = 3{R_1}^2 + 3{Z_L}^2 \Rightarrow 3{R_1}^2 - 8{Z_L}.{R_1} + 3{Z_L}^2 = 0\end{array}\)

Chuẩn hóa \({Z_L} = 1\) khi đó ta có phương trình:

\(3{R_1}^2 - 8{R_1} + 3 = 0 \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{l}}{{R_1} = \dfrac{{4 + \sqrt 7 }}{3}}\\{{R_1} = \dfrac{{4 - \sqrt 7 }}{3}}\end{array}} \right.\)

Với \({R_1} = \dfrac{{4 + \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow \cos {\varphi _1} = \dfrac{{{R_1}}}{Z} = \dfrac{{\dfrac{{4 + \sqrt 7 }}{3}}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{4 + \sqrt 7 }}{3}} \right)}^2} + {1^2}} }} \Rightarrow {\varphi _1} = 0,42\,\,\left( {rad} \right)\)

Với \({R_1} = \dfrac{{4 - \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow \cos {\varphi _1} = \dfrac{{{R_1}}}{Z} = \dfrac{{\dfrac{{4 - \sqrt 7 }}{3}}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{4 - \sqrt 7 }}{3}} \right)}^2} + {1^2}} }} \Rightarrow {\varphi _1} = 1,18\,\,\left( {rad} \right)\)

Chọn C.