Cho biểu thức

Câu hỏi: Cho biểu thức $S = C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5} + . . . + C_{n}^{n - 2} .$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $S = 2^{n} - 2 n + 2$ .

B. $S = 2^{n} - 2$ .

C. $2^{n} - 2 n - 2$ .

D. $S = 2^{n} + n + 1$ .

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án cần chọn là C

Ta có:

${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{1}^{n} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{b - 2} b^{2} + . . . + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

Thay a=1, b=1 ta có:

$2^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + . . . + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} \Leftrightarrow 2^{n} = 1 + n + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + C_{n}^{4} + . . . + C_{n}^{n - 2} + n + 1 \Leftrightarrow 2^{n} - 2 n - 2 = C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + C_{n}^{4} + . . . + C_{n}^{n - 2}$