Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai...

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 2 t \\ y = t \\ z = 4 \end{cases}$ và $d_{2} : \{\begin{cases} x = 3 - t' \\ y = t' \\ z = 0 \end{cases}$ . Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2} .$

A. $(S) : {(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4.$

B. $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 16.$

C. $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4.$

D. $(S) : {(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 16.$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi tâm mặt cầu cần tìm là I và H,K lần lượt là hình chiếu của I lên các đường thẳng $d_{1}, d_{2} .$

Ta có: $I H + I K \geq H K \geq a (d_{1}, d_{2}) .$ Dấu bằng khi HK là đường vuông góc chung của $d_{1}, d_{2}$ và I là trung điểm của HK.

Khi đó: $H (2 a, a, 4)$ và $K (3 - b, b, 0) \Rightarrow \bar{K H} (2 a + b - 3; a - b; 4)$

Đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ có vecto chỉ phương lần lượt là $\bar{u_{1}} = (2; 1; 0)$ và $\bar{u_{2}} (- 1; 1; 0)$ nên:

$\{\begin{cases} \bar{K H} . \bar{u_{1}} = 0 \\ \bar{K H} . \bar{u_{2}} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 (2 a + b - 3) + (a - b) + 0.4 = 0 \\ - (2 a + b - 3) + (a - b) + 0.4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow 2 a + b - 3 = a - b = 0 \Leftrightarrow a = b = 1$

Suy ra trung điểm của HK là $I (2; 1; 2)$ và bán kính của mặt cầu (S) là $R = \frac{H K}{2} = 2.$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

↑

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai...

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x=2ty=tz=4 và d2:x=3−t'y=t'z=0. Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2.