Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),\,\,B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\).

+) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A và B song song \( \Rightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)\).

+) Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).

Giải chi tiết:

\(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{x - 1 + 2}}{{x - 1}} = 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}\)

Ta có: TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\) và \(y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),\,\,B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\,\,\,\left( {{x_A} \ne {x_B}} \right)\).

Theo giả thiết \(y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_B} - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_A} = {x_B}\,\,(L)\\{x_A} + {x_B} = 2\end{array} \right.\)

\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left[ {1 + \dfrac{2}{{{x_B} - 1}} - 1 - \dfrac{2}{{{x_A} - 1}}} \right]}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left[ {\dfrac{{2\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}}{{\left( {{x_A} - 1} \right)\left( {{x_B} - 1} \right)}}} \right]}^2}} \)

\( \Rightarrow A{B^2} = 20 \Leftrightarrow {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2}\left[ {1 + \dfrac{4}{{{{\left( {{x_A}{x_B} - {x_A} - {x_B} + 1} \right)}^2}}}} \right] = 20\)

\( \Rightarrow {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2}\left[ {1 + \dfrac{4}{{{{\left( {{x_A}{x_B} - 2 + 1} \right)}^2}}}} \right] = 20\), với \({x_A} + {x_B} = 2\)

 \( \Rightarrow \left( {{{\left( {{x_B} + {x_A}} \right)}^2} - 4{x_A}{x_B}} \right)\left[ {1 + \dfrac{4}{{{{\left( {{x_A}{x_B} - 1} \right)}^2}}}} \right] = 20\,\,\,(*)\)

Đặt \({x_A}{x_B} = a\)

Phương trình (*) tương đương

\(\begin{array}{l}\left( {4 - 4a} \right)\left( {1 + \dfrac{4}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \right) = 20 \Leftrightarrow 4\left( {1 - a} \right) + \dfrac{{16}}{{1 - a}} = 20\\ \Leftrightarrow 4{\left( {1 - a} \right)^2} - 20\left( {1 - a} \right) + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - a = 4\\1 - a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 3\\a = 0\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(a =  - 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2\\{x_A}{x_B} =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow {x_A},\,{x_B}\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 2X - 3 = 0\)

Suy ra  \(\left( {{x_A},\,{x_B}} \right) = \left( {3; - 1} \right) \Rightarrow {x_A} - {x_B} = 4\), hoặc \(\left( {{x_A},\,{x_B}} \right) = \left( { - 1;3} \right) \Rightarrow {x_A} - {x_B} =  - 4\).

TH2: \(a = 0 \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2\\{x_A}{x_B} = 0\end{array} \right. \Rightarrow {x_A},\,{x_B}\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 2X = 0\)

Suy ra  \(\left( {{x_A},\,{x_B}} \right) = \left( {0;2} \right) \Rightarrow {x_A} - {x_B} =  - 2 < 0\), hoặc \(\left( {{x_A},\,{x_B}} \right) = \left( {2;0} \right) \Rightarrow {x_A} - {x_B} = 2\).

Dựa vào các đáp án ta chọn được đáp án A.

Chọn: A