Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình v...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi H là trung điểm của AB \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

+) Sử dụng công thức đổi điểm, chứng minh \(d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {B;SCD} \right)\).

+) Dựng khoảng cách từ H đến (SCD).

+) Đặt cạnh đáy bằng x. Tính x theo a.

+) Áp dụng công thức tính thể tích \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết:

Vì \(\Delta SAB\) đều, gọi H là trung điểm của AB, từ giả thiết \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Vì \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{3\sqrt 7 a}}{7}\)

Gọi M là trung điểm của CD ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SH\\CD \bot HM\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHM} \right)\).

Kẻ \(HK \bot SM \Rightarrow HK \bot CD \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HK = \dfrac{{3\sqrt 7 a}}{7}\)

Gọi x là độ dài cạnh đáy. Khi đó, do \(\Delta SAB\) cạnh x nên \(SH = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2},\,\,HM = x\,\)

\(\,\, \Rightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{M^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{7}{{9{a^2}}} = \dfrac{4}{{3{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{7}{{3{x^2}}} \Rightarrow x = a\sqrt 3 \)

Vậy \({S_{ABCD}} = 3{a^2},\,\,SH = \dfrac{{3a}}{2} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{{3{a^3}}}{2}\).

Chọn: D