Cho $\Delta ABC,$ trên các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Giả sử $\frac{{AM}}{{AB}} = k$  suy ra $\overrightarrow {AM}  = k\overrightarrow {AB} ;\,\,\overrightarrow {BN}  = k\overrightarrow {BC} ;\,\,\overrightarrow {CP}  = k\overrightarrow {CA}$.

Cách 1: Gọi $G,\,\,G'$  lần lượt là trọng tâm $\Delta ABC$ và $\Delta MNP.$  

Suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0};\,\,\overrightarrow{G'M}+\overrightarrow{G'N}+\overrightarrow{G'P}=\vec{0}\,\,\,\,\left( * \right)$

Ta có: $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'M}=k\overrightarrow{AB}$

Tương tự $\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'N}=k\overrightarrow{BC} \\ &\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'P}=k\overrightarrow{CA} \\\end{align} \right..$

Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được

$\left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG} } \right) + 3\overrightarrow {GG'}  + \left( {\overrightarrow {G'M}  + \overrightarrow {G'N}  + \overrightarrow {G'P} } \right) = k\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA} } \right)$

Kết hợp với (*) ta được $\overrightarrow{GG'}=\vec{0}$. Suy ra điều phải chứng minh.

Cách 2 : Gọi $G$  là trọng tâm $\Delta ABC \Rightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \vec 0.$

Ta có: $\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GP}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {CP}$

$= \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CP}  = k\overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {BC}  + k\overrightarrow {CA}  = k\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA} } \right) = \vec 0$

Vậy hai tam giác $ABC$ và $MNP$  có cùng trọng tâm.