Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A(10;\,\...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(M\left( x;y;z \right)\Rightarrow \) tọa độ các vector \(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\).

+) Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,\,B\) lên \(\left( \alpha  \right),\) có \(\widehat{AMH}=\widehat{BMK}.\)

+) Tính sin các góc \(\widehat{AMH};\widehat{BMK}\)  và suy ra đẳng thức. Tìm quỹ tích điểm M là một đường tròn.

+) Tìm tâm của đường tròn quỹ tích đó.

Giải chi tiết:

Gọi \(M\left( x;y;z \right)\)\(\Rightarrow \,\,\overrightarrow{AM}=\left( x-10;y-6;z+2 \right);\,\,\overrightarrow{BM}=\left( x-5;y-10;z+9 \right)\)

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,\,B\) lên \(\left( \alpha  \right),\) có \(\widehat{AMH}=\widehat{BMK}.\)

\(AH=d\left( A;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.10+2.6-2-12 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6;\,\,BK=d\left( B;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.5+2.10-9-12 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=3\)

Khi đó \(\left\{ \begin{align}  & \sin \widehat{AMH}=\frac{AH}{MA} \\  & \sin \widehat{BMK}=\frac{BK}{MB} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{AH}{MA}=\frac{BK}{MB}\Rightarrow MA=2\,MB\Leftrightarrow M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}.\)

Suy ra \({{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4\left( {{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-10 \right)}^{2}}+{{\left( z+9 \right)}^{2}} \right)\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{20}{3}x-\frac{68}{3}y+\frac{68}{3}z+228=0\Leftrightarrow \left( S \right):{{\left( x-\frac{10}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{34}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z+\frac{34}{3} \right)}^{2}}=40\) có tâm \(I\left( \frac{10}{3};\frac{34}{3};\frac{-34}{3} \right)\)

Vậy \(M\in \left( C \right)\) là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( S \right)\Rightarrow \) Tâm K của \(\left( C \right)\) là hình chiếu của \(I\left( \frac{10}{3};\frac{34}{3};\frac{-34}{3} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua I à vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\) có dạng \(\left\{ \begin{align}  & x=\frac{10}{3}+2t \\  & y=\frac{34}{3}+2t \\  & z=-\frac{34}{3}+t \\ \end{align} \right.\)\(\begin{align}  & \Rightarrow K\left( \frac{10}{3}+2t;\frac{34}{3}+2t;-\frac{34}{3}+t \right),\,\,K\in \left( \alpha  \right)\Rightarrow 2\left( \frac{10}{3}+2t \right)+2\left( \frac{34}{3}+2t \right)+\left( -\frac{34}{3}+t \right)-12=0 \\  & \Leftrightarrow 9t+6=0\Leftrightarrow t=-\frac{2}{3}\Rightarrow K\left( 2;10;-12 \right)\Rightarrow {{x}_{K}}=2 \\ \end{align}\)

Chọn B.