Biết \(\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x{{\sin }^{20...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đổi biến số với tích phân đặc biệt, đưa về tính tích phân đơn giản

Giải chi tiết:

 Đặt \(t=\pi -x\Leftrightarrow \)\(\text{d}x=-\,\text{d}t\) và đổi cận \(\left\{ \begin{align} & x=0\,\,\Rightarrow \,\,t=\pi \\ & x=\pi \,\,\Rightarrow \,\,t=0 \\ \end{align} \right..\)

Khi đó \(I=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=\int\limits_{\pi }^{0}{\frac{\left( \pi -t \right){{\sin }^{2018}}\left( \pi -t \right)\left( -\,\text{d}t \right)}{{{\sin }^{2018}}\left( \pi -t \right)+{{\cos }^{2018}}\left( \pi -t \right)}}=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\left( \pi -x \right){{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}\).

Từ đó suy ra \(2I=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x=\pi {{I}_{1}}}\) với \({{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}.\)

Đặt \(t=\frac{\pi }{2}-x\), khi đó tích phân \({{I}_{1}}\) trở thành \({{I}_{1}}=\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{-\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\sin }^{2018}}\left( \frac{\pi }{2}-t \right)}{{{\sin }^{2018}}\left( \frac{\pi }{2}-t \right)+{{\cos }^{2018}}\left( \frac{\pi }{2}-t \right)}\left( -\,\text{d}t \right)}\) \(=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\cos }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}\)\(=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\cos }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}\)

Suy ra \(2{{I}_{1}}=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\cos }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}+2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\text{d}x}=\pi \) \(\Rightarrow {{I}_{1}}=\frac{\pi }{2}\). Khi đó \(2I=\pi {{I}_{1}}=\pi \cdot \frac{\pi }{2}\Rightarrow I=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}\).

Vậy \(a=2,\,\,b=4\)\(\Rightarrow P=2a+b=8\).

Chọn A