Cho bất phương trình \(m{{.3}^{x+1}}+\left( 3m+2 \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chia cả 2 vế cho \({{3}^{x}}\), đặt \(t={{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}},\) tìm điều kiện của t.

Đưa về bất phương trình dạng \(m\ge f\left( t \right)\,\,\forall t\in \left( a;b \right)\Rightarrow m\ge \underset{t\in \left( a;b \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)\)

Giải chi tiết:

\(m{{.3}^{x+1}}+\left( 3m+2 \right){{\left( 4-\sqrt{7} \right)}^{x}}+{{\left( 4+\sqrt{7} \right)}^{x}}>0\Leftrightarrow 3m+\left( 3m+2 \right){{\left( \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}>0\)

Ta có \(\frac{4-\sqrt{7}}{3}.\frac{4+\sqrt{7}}{3}=1\Rightarrow {{\left( \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}.{{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}=1\)

Đặt \(t={{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}\,\,\left( 0<t<1\,\,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \right)\), khi đó phương trình trở thành

\(\begin{align}  3m+\left( 3m+2 \right)\frac{1}{t}+t>0\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}+3mt+\left( 3m+2 \right)}{t}>0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+3mt+\left( 3m+2 \right)>0\,\,\forall t\in \left( 0;1 \right) \\  \Leftrightarrow 3m\left( t+1 \right)+{{t}^{2}}+2>0\,\,\forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow 3m>\frac{-{{t}^{2}}-2}{t+1}=f\left( t \right)\,\,\forall t\in \left( 0;1 \right) \\  \Rightarrow 3m\ge \underset{t\in \left( 0;1 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right) \\ \end{align}\)

Ta có : \(f'\left( t \right)=\frac{-2t\left( t+1 \right)-\left( -{{t}^{2}}-2 \right)}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\frac{-{{t}^{2}}-2t+2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=0\Rightarrow t=-1+\sqrt{3}\)

\(f\left( -1+\sqrt{3} \right)=\frac{-6+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2-2\sqrt{3}=\underset{t\in \left( 0;1 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)\)

Vậy \(3m\ge 2-2\sqrt{3}\Rightarrow m\ge \frac{2-2\sqrt{3}}{3}\) .

Chọn A.