Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải phương trình chứa căn và mũ để tìm mối liên hệ giữa các số hạng, phát hiện tính chất của cấp số cộng để tìm công thức tổng quát của số hạng thứ n 

Giải chi tiết:

Ta có \({{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+3\) với mọi \(n\ge 1\) nên \({{u}_{n}}\) là cấp số cộng có công sai \(d=3\) \({{\text{e}}^{{{u}_{18}}}}+5\sqrt{{{\text{e}}^{{{u}_{18}}}}-{{\text{e}}^{4{{u}_{1}}}}}={{\text{e}}^{4{{u}_{1}}}}\Leftrightarrow 5\sqrt{{{\text{e}}^{{{u}_{18}}}}-{{\text{e}}^{4{{u}_{1}}}}}={{\text{e}}^{4{{u}_{1}}}}-{{\text{e}}^{{{u}_{18}}}}\)\(\left( 1 \right)\)

Đặt \(t={{\text{e}}^{{{u}_{18}}}}-{{\text{e}}^{4{{u}_{1}}}}\) \(\left( t\ge 0 \right)\).

Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(5\sqrt{t}=-t\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t\le 0 \\ & 25t={{t}^{2}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow t=0\) \(5\sqrt{t}=-t\Leftrightarrow t+5\sqrt{t}=0\Leftrightarrow \sqrt{t}\left( \sqrt{t}+5 \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{t}=0\Leftrightarrow t=0\) Với \(t=0\) ta có : \({{\text{e}}^{{{u}_{18}}}}={{\text{e}}^{4{{u}_{1}}}}\Leftrightarrow {{u}_{18}}=4{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}+17d=4{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}+51=4{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=17\)

Do đó \({{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d=17+\left( n-1 \right)3=3n+14\)

Lại có \({{\log }_{3}}{{u}_{n}}<\ln 2018\Leftrightarrow {{u}_{n}}<{{3}^{\ln 2018}}\Leftrightarrow 3n+14<{{3}^{\ln 2018}}\Leftrightarrow n<\frac{{{3}^{\ln 2018}}-14}{3}\approx 1419,98\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(n\) là \(1419\).

Chọn A