Cho hàm số chẵn \(y=f(x)\) liên tục trên R và \(\i...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đổi biến số và sử dụng tính chất của hàm số chẵn.

Giải chi tiết:

Đặt \(t=-x\Leftrightarrow dx=-dt\). Đổi cận : \(x=-1\to t=1,\,\,x=-1\to t=1\)

\(I=\int_{-1}^{1}{\frac{f(2x)dx}{1+{{2}^{x}}}}=\int_{1}^{-1}{\frac{f(-2t)(-dt)}{1+{{2}^{-t}}}}=\int_{-1}^{1}{\frac{{{2}^{t}}f(2t)dt}{1+{{2}^{t}}}}\) (vì \(y=f(x)\) là hàm số chẵn)

\(\begin{align}  \Rightarrow 2I=\int_{-1}^{1}{\frac{f(2x)dx}{1+{{2}^{x}}}}+\int_{-1}^{1}{\frac{{{2}^{x}}f(2x)dx}{1+{{2}^{x}}}}=\int_{-1}^{1}{f(2x)dx}\Rightarrow \int_{-1}^{1}{f(2x)dx}=2.8=16 \\  \Rightarrow \int_{-1}^{0}{f(2x)dx}+\int_{0}^{1}{f(2x)dx}=16 \\ \end{align}\)

Do \(y=f(x)\) là hàm số chẵn nên \(\int_{-1}^{0}{f(2x)dx}=\int_{0}^{1}{f(2x)dx}\)

\(\Rightarrow 2\int_{0}^{1}{f(2x)dx}=16\Rightarrow \int_{0}^{1}{f(2x)dx}=8\)

Đặt \(2x=m\Leftrightarrow 2xdx=dm\Rightarrow dx=\frac{1}{2}dm\). Đổi cận \(x=0\to m=0,\,\,x=1\to m=2\)

\(\Rightarrow \int_{0}^{1}{f(2x)dx\Rightarrow \frac{1}{2}}\int_{0}^{2}{f(m)dm}=8\Rightarrow \int_{0}^{2}{f(x)dx}=16\)

Chọn: D