Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;b \right]\):

Bước 1: Tính y’, giải phương trình \(y'=0\), suy ra các nghiệm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\).

Bước 2: Tính các giá trị \(y\left( a \right);y\left( b \right);y\left( {{x}_{i}} \right).\)

Bước 3: So sánh và kết luận: \(\underset{x\in \left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,y=\max \left\{ y\left( a \right);y\left( b \right);y\left( {{x}_{i}} \right) \right\};\,\,\underset{x\in \left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,y=\min \left\{ y\left( a \right);y\left( b \right);y\left( {{x}_{i}} \right) \right\}\)

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ =3 \right\}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{2x\left( {x + 3} \right) - {x^2} + 5}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 6x + 5}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1 \notin \left[ {0;2} \right]\\
x = - 5 \notin \left[ {0;2} \right]
\end{array} \right.\\
y\left( 0 \right) = - \frac{5}{3};\,\,y\left( 2 \right) = - \frac{1}{5}\\
\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} y = \frac{{ - 5}}{3}
\end{array}\)

Chọn A.