Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh tr...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay và các phương pháp tính tích phân

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $Ox$ là $\frac{\sqrt{3x+1}}{x+1}=0\Leftrightarrow 3x+1=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}.$

Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tính là $V=\pi \int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}=\pi \int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\frac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}$

Xét tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\frac{3\left( x+1 \right)-2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\left[ \frac{3}{x+1}-\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right]\text{d}x}$

$=\left. \left( 3\ln \left| x+1 \right|+\frac{2}{x+1} \right) \right|_{-\frac{1}{3}}^{1}=3.\ln 2+1-3.\ln \frac{2}{3}-3=3.\ln 3-2.$

Vậy $V=\pi \left( 3\ln 3-2 \right).$

Chọn B