Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = 3,BC = 4,AC = 5\...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy góc bằng nhau có hình chiếu của đỉnh trùng với tâm đường tròn nội tiếp đáy.

Giải chi tiết:

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\)

Dễ thấy \(\Delta ABC\) vuông tại \(B \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.3.4 = 6\), nửa chu vi \(\Delta ABC:\,\,p = \frac{{3 + 4 + 5}}{2} = 6\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\)  trên cạnh \(AB\) ta có

\(S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = 1\), với r là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC \Rightarrow IH = 1\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot IH\\AB \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow AB \bot SH \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SH;IH} \right)} = \widehat {SHI} = {30^0}\)

Xét tam giác vuông \(SHI\) có \(SI = HI.\tan 30 = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SI.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{{\sqrt 3 }}.6 = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

Chọn B.