Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính bằng 2 và mặt phẳ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Dự đoán điểm cố định.

+) Dựa vào các yếu tố cố định và không đổi có trong đề bài chứng minh dự đoán trên là đúng.

Giải chi tiết:

A, B, C là các tiếp điểm nên tam giác ABC nội tiếp một đường tròn nhỏ của hình cầu. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử AB là đường kính của đường tròn đó.

Gọi H là hình chiếu của O trên (P), \(I=OH\cap AB\)

Dễ thấy AOHM là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 90⁰)

\(\Rightarrow \widehat{OHA}=\widehat{OMA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OA)

Mà \(\widehat{OMA}=\widehat{BAO}\) (cùng phụ với \(\widehat{OAB}\))

\(\Rightarrow \widehat{OHA}=\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\Rightarrow \) Tứ giác OAHB nội tiếp.

\(\Rightarrow \widehat{OHB}=\widehat{OAB}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung OB), mà

\(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\Rightarrow \widehat{OHB}=\widehat{OBA}\Rightarrow \Delta OIB\backsim \Delta OBH\Rightarrow \frac{OI}{OB}=\frac{OB}{OH}\Rightarrow OI=\frac{O{{B}^{2}}}{OH}\)

Do OB, OH không đổi \(\Rightarrow OI\) không đổi, mà O cố định, OH cố định \(\Rightarrow I\) cố định. Vậy (ABC) luôn đi qua điểm I cố định và \(OI=\frac{O{{B}^{2}}}{OH}=\frac{{{2}^{2}}}{4}=1\)

Chọn D.