Tìm hệ số của x4 trong khai triển nhị t...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm n từ bất phương trình \(A_{n}^{5}\le 18A_{n-1}^{4}\)

+) Sử dụng khai triển nhị thức Newton \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A_n^5 \le 18A_{n - 2}^4 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 5} \right)!}} \le 18\frac{{\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 6} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{n - 5}} \le 18 \Leftrightarrow {n^2} - n \le 18n - 90 \Leftrightarrow 9 \le n \le 10\\ \Leftrightarrow n = 10\\ \Rightarrow {\left( {2x + \frac{1}{{\sqrt[5]{x}}}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {2x} \right)}^{10 - k}}{{\left( {{x^{ - \frac{1}{5}}}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{2^{10 - k}}{x^{10 - k - \frac{k}{5}}}} \end{array}\)

Để tìm hệ số của x⁴ ta có: \(10-k-\frac{k}{5}=4\Leftrightarrow \frac{6}{5}k=6\Leftrightarrow k=5\)

Vậy hệ số của x⁴ là \(C_{10}^{5}{{.2}^{5}}=8064\)

Chọn A.