Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vu...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Để xác định khoảng cách từ một điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta xác định hình chiếu \(H\) của \(M\) trên \(\left( P \right)\). Khi đó \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = MH.\)

Nên ta phải xác định hình chiếu \(H\) của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Từ đó \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH.\)

+ Tính \(AH\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết:

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AH \bot SB\) tại \(H.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\\BC \bot SA\,\,\left( {do\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)  nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot AH\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\,\left( {cmt} \right)\\AH \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\) tại \(H\)

Do đó \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH.\)

Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\,\left( {do\,SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB} \right)\), theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}}\) \( \Rightarrow A{H^2} = \frac{{4{a^2}}}{5} \Rightarrow AH = \frac{{2\sqrt 5 a}}{5}.\)

Chọn A.