Giải phương trình: \(2(x + 1)\sqrt {x + \frac{3}{x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chia cả 2 vế cho \(x,\) từ đó đặt ẩn phụ để giải quyết bài toán.

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \(x > 0.\)

Ta có phương trình đã cho tương đương với:

\(2(x + 1)\sqrt {x + \frac{3}{x}}  = {x^2} + 7 \Leftrightarrow 2\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\sqrt {x + \frac{3}{x}}  = x + \frac{7}{x}\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt: \(t = \sqrt {x + \frac{3}{x}} ,\,\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow {t^2} = x + \frac{3}{x}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 2\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)t = {t^2} + \frac{4}{x}\\ \Leftrightarrow 2t + 2\frac{t}{x} - {t^2} - \frac{4}{x} = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {2 - t} \right) + \frac{2}{x}\left( {t - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {\frac{2}{x} - t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 2 = 0\\\frac{2}{x} - t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\left( {tm} \right)\\t = \frac{2}{x}\,\,\,\end{array} \right.\\ + )\,\,t = 2 \Rightarrow x + \frac{3}{x} = 4 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ + )\,\,t = \frac{2}{x} \Leftrightarrow \frac{4}{{{x^2}}} = x + \frac{3}{x} \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\{x^2} + 4x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \(S = \left\{ {1;\,\,3} \right\}.\)

Chọn A.