Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh bê...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách giữa đường này và mặt phẳng song song với đường này chứa đường kia.

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\).

\( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'H \bot \left( {A'B'C'} \right)\).

Trong \(\left( {A'B'C'} \right)\) kẻ \(A'E \bot B'C'\,\,\left( {E \in B'C'} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}B'C' \bot A'E\\B'C' \bot A'H\,\,\left( {A'H \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow B'C' \bot \left( {A'EH} \right)\).

Trong \(\left( {A'EH} \right)\) kẻ \(A'K \bot HE\,\,\left( {K \in HE} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}A'K \bot HE\\A'K \bot B'C'\,\,\left( {B'C' \bot \left( {A'EH} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A'K \bot \left( {BCC'B'} \right)\).

Ta có: \(AA'//BB' \Rightarrow AA'//\left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow d\left( {AA';B'C'} \right) = d\left( {A';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = A'K\).

Ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = 2a \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}BC = a\).

Trong tam giác vuông \(AA'H:\,\,A'H = \sqrt {AA{'^2} - A{H^2}}  = \sqrt {7{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 6 \).

Trong tam giác vuông \(A'B'C':\,\,A'E = \dfrac{{A'B'.A'C'}}{{B'C'}} = \dfrac{{a.a\sqrt 3 }}{{2a}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\(A'H \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow A'H \bot A'E \Rightarrow \Delta A'EH\) vuông tại \(A'\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(A'EH\):

\(A'K = \dfrac{{A'E.A'H}}{{\sqrt {A'{E^2} + A'{H^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 6 }}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + 6{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \).

Vậy \(d\left( {AA';B'C'} \right) = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \).

Chọn D.