Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - a{x^2} - 3ax...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị.

+) Sử dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\).

Ta có \(y' = {x^2} - 2ax - 3a\)

Để hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {a^2} + 3a > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 0\\a <  - 3\end{array} \right.\)

Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình \(y' = 0\), theo hệ thức Vi-ét ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2a\\{x_1}{x_2} =  - 3a\end{array} \right.\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}x_1^2 + 2a{x_2} + 9a = x_1^2 + \left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_2} + 9a = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} + 9a\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} + 9a\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} + 9a\\ = 4{a^2} + 3a + 9a = 4{a^2} + 12a\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(x_2^2 + 2a{x_1} + 9a = 4{a^2} + 12a\)

Theo bài ra ta có

\(\begin{array}{l}\dfrac{{x_1^2 + 2a{x_2} + 9a}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{a^2}}}{{x_2^2 + 2a{x_1} + 9a}} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4{a^2} + 12a}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{a^2}}}{{4{a^2} + 12a}} = 2\end{array}\)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + 3a > 0 \Leftrightarrow 4{a^2} + 12a > 0\\\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a <  - 3\end{array} \right. \Rightarrow a \ne 0 \Rightarrow {a^2} > 0\end{array} \right.\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(\dfrac{{4{a^2} + 12a}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{a^2}}}{{4{a^2} + 12a}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{4{a^2} + 12a}}{{{a^2}}}.\dfrac{{{a^2}}}{{4{a^2} + 12a}}}  = 2\)

Dấu bằng xảy ra

\( \Leftrightarrow \dfrac{{4{a^2} + 12a}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{4{a^2} + 12a}} \Leftrightarrow \dfrac{{4{a^2} + 12a}}{{{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow 4{a^2} + 12a = {a^2} \Leftrightarrow 3{a^2} + 12a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\a =  - 4\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Chọn A.