Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+3x-2\)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cho hàm số \(\left( C \right):\ \ y=f\left( x \right)\)  

Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\) là: \(y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\)  

Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:\ \ y=6x-4\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & f'\left( {{x}_{0}} \right)=6 \\ & f'\left( {{x}_{0}} \right).\left( -{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\ne -4 \\\end{align} \right.\)  

Giải chi tiết:

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}+3\)  

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\) là: \(y=\left( 3x_{0}^{2}+3 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow y=\left( 3x_{0}^{2}+3 \right)x-3x_{0}^{3}-3{{x}_{0}}+x_{0}^{3}+3{{x}_{0}}-2 \\ & \Leftrightarrow y=\left( 3x_{0}^{2}+3 \right)x-2x_{0}^{3}-2. \\\end{align}\)

Tiếp tuyến song song với đường thẳng  \(d:\;\;y = 6x - 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x_0^2 + 3 = 6\\
- 2x_0^3 - 2 \ne - 4
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 = 1\\x_0^3 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = - 1\end{array} \right.\\{x_0} \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 1.\)

Vậy có 1 tiếp tuyến cần tìm.

Chọn D.