Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(A\left( a;0;0 \right);\,\,B\left( 0;b;0 \right);\,\,C\left( 0;0;c \right)\,\,\left( a;b;c\ne 0 \right)\), viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B, C dạng đoạn chắn. \(M\in \left( P \right)\Rightarrow \) Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P).

+) \(OA=OB=OC\Rightarrow \left| a \right|=\left| b \right|=\left| c \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  a=b=c \\  a=b=-c \\  a=-b=c \\  a=-b=-c \\ \end{align} \right.\)

+) Ứng với mỗi trường hợp tìm các ẩn a, b, c tương ứng.

Giải chi tiết:

Gọi \(A\left( a;0;0 \right);\,\,B\left( 0;b;0 \right);\,\,C\left( 0;0;c \right)\,\,\left( a;b;c\ne 0 \right)\), khi đó phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C là \(\left( P \right):\,\,\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\).

\(M\in \left( P \right)\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{5}{c}=1\,\,\left( * \right)\).

Ta có \(OA=OB=OC\Rightarrow \left| a \right|=\left| b \right|=\left| c \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  a=b=c \\  a=b=-c \\  a=-b=c \\  a=-b=-c \\ \end{align} \right.\)

TH1: \(a=b=C\), thay vào (*) có \(\frac{1}{a}+\frac{2}{a}+\frac{5}{a}=1\Leftrightarrow \frac{8}{a}=1\Leftrightarrow a=8\Rightarrow \left( P \right):\,\,x+y+z-8=0\).

TH2: \(a=b=-C\), thay vào (*) có \(\frac{1}{a}+\frac{2}{a}-\frac{5}{a}=1\Leftrightarrow \frac{-2}{a}=1\Leftrightarrow a=-2\Rightarrow \left( P \right):\,\,x+y-z+2=0\).

TH3: \(a=-b=C\), thay vào (*) có \(\frac{1}{a}-\frac{2}{a}+\frac{5}{a}=1\Leftrightarrow \frac{4}{a}=1\Leftrightarrow a=4\Leftrightarrow \left( P \right):\,\,x-y+z-4=0\).

 TH4: \(a=-b=-C\), thay vào (*) có \(\frac{1}{a}-\frac{2}{a}-\frac{5}{a}=1\Leftrightarrow \frac{-6}{a}=1\Leftrightarrow a=-6\Leftrightarrow x-y-z+6=0\).

Vậy có 4 mặt phẳng thỏa mãn.

Chọn C.