Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có t...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Phương pháp tọa độ hóa.

- Các bước xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Đường thẳng \({d_1}\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} \), đi qua điểm \({M_1}\).

Đường thẳng \({d_2}\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} \), đi qua điểm \({M_2}\).

Khoảng cách giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) được tính theo công thức: 

            \(d({d_1};{d_2}) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\)

Giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz với \(O(0;0;0)\) là trung điểm của A’C’.

\(A'\left( {0; - \frac{a}{2};0} \right),\,\,B'\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0;0} \right),\,\,C'\left( {0;\frac{a}{2};0} \right)\), \(A\left( {0; - \frac{a}{2};a} \right),\,\,B\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0;a} \right),\,\,C\left( {0;\frac{a}{2};a} \right)\), \(M\left( {0; - \frac{a}{2};\frac{a}{2}} \right),\,\,N\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}; - \frac{a}{4};a} \right)\) \(\overrightarrow {MN} \left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4};\frac{a}{4};\frac{a}{2}} \right),\,\,\overrightarrow {B'C} \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2};a} \right)\), \(\overrightarrow {CN} \left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}; - \frac{{3a}}{4};0} \right)\)

Đường thẳng MN có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {\sqrt 3 ;1;2} \right)\) và đi qua điểm \(N\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}; - \frac{a}{4};a} \right)\)

Đường thẳng B’C có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {\sqrt 3 ; - 1; - 2} \right)\) và đi qua điểm \(C\left( {0;\frac{a}{2};a} \right)\)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’C:  \(d(MN;B'C) = \frac{{\left| {\overrightarrow {CN} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0;4\sqrt 3 ; - 2\sqrt 3 } \right)\) \( \Rightarrow d(MN;B'C) = \frac{{\left| {0.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} - \frac{{3a}}{4}.4\sqrt 3  + 0.( - 4\sqrt 3 )} \right|}}{{\sqrt {0 + 48 + 12} }} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{{\sqrt {60} }} = \frac{{3a}}{{2\sqrt 5 }} = \frac{{3a\sqrt 5 }}{{10}}\)

Chọn: A