Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích \(81{m^2...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, sử dụng công thức \(V = \pi {R^2}h\) tính thể tích của hinh trụ.

+) Lập BBT tìm GTLN của hàm thể tích.

Giải chi tiết:

Ta có: Đường kính đáy của hình trụ là \(9 - 2x \Rightarrow \) Bán kính đáy hình trụ là \(\frac{{9 - 2x}}{2}\).

Khi đó ta có thể tích ao là \(V = \pi {\left( {\frac{{9 - 2x}}{2}} \right)^2}x = \frac{\pi }{4}{\left( {9 - 2x} \right)^2}x = \frac{\pi }{4}f\left( x \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {9 - 2x} \right)^2}x = 4{x^3} - 36{x^2} + 81x\) với \(0 < x < \frac{9}{2}\) ta có :

\(f'\left( x \right) = 12{x^2} - 72x + 81 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{9}{2}\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\) 

BBT :

Dựa vào BBT ta thấy \(f{\left( x \right)_{\max }} = 54 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\). Khi đó \({V_{\max }} = \frac{\pi }{4}.54 = \frac{{27\pi }}{2} = 13,5\pi \,\,\left( {{m^3}} \right)\).

Chọn A.