Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết \(d\left( {a,b} \right) = d\left( {a,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( P \right)} \right)\) với \(a,b\) là các đường thẳng chéo nhau, \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa \(b\) và song song với \(a\), \(M\) là một điểm bất kì thuộc \(a\).

Giải chi tiết:

Gọi \(M,E\) là trung điểm của \(AB,CD\) và \(F,G\) là hình chiếu của \(O,M\) lên \(SE\).

Ta thấy: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB//CD \subset \left( {SCD} \right)\\SC \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right)\\ = d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)\end{array}\) 

Dễ thấy \(CD \bot \left( {SME} \right) \Rightarrow CD \bot OF\). Mà \(OF \bot SE \Rightarrow OF \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OF\).

Xét tam giác \(SOE\) vuông tại \(O\) có

\(OF = \frac{{SO.OE}}{{SE}} = \frac{{SO.OE}}{{\sqrt {S{O^2} + O{E^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 .\frac{a}{2}}}{{\sqrt {2{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

Vậy \(d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = 2OF = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}\).

Chọn D.