Bất phương trình \({4^x} - \left( {m + 1} \right){...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \({2^x} = t,\,\,t \ge 1\) (do\(x \ge 0\)).  Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số.

Giải chi tiết:

Đặt \({2^x} = t,\,\,t \ge 1\) (do\(x \ge 0\)). 

Bất phương trình  trở thành:  \({t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + m \ge 0 \Leftrightarrow m\left( {1 - 2t} \right) \ge 2t - {t^2}\,\,\left( * \right)\)

Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng với mọi \(x \ge 0\) thì (*) nghiệm đúng với mọi\(\,t \ge 1\)

Do \(t \ge 1 \Rightarrow  - 2t \le  - 2 \Leftrightarrow 1 - 2t \le  - 1 < 0\).

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow m \le \dfrac{{2t - {t^2}}}{{1 - 2t}}\) nghiệm đúng với mọi \(\,t \ge 1 \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{t \ge 1} \left( {\dfrac{{2t - {t^2}}}{{1 - 2t}}} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{2t - {t^2}}}{{1 - 2t}},\,\,t \ge 1\) có:

\(f'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2 - 2t} \right)\left( {1 - 2t} \right) - \left( {2t - {t^2}} \right).\left( { - 2} \right)}}{{{{\left( {1 - 2t} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{t^2} - 2t + 2}}{{{{\left( {1 - 2t} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall t \ge 1\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{t \ge 1} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) =  - 1 \Rightarrow m \le  - 1\)

Vậy, tập tất cả các giá trị của  m là  \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\).

Chọn: B