Biểu thức\(2C_n^k + 5C_n^{k + 1} + 4C_n^{k + 2}+C_...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân tích để xuất hiện sau đó áp dụng công thức \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\).

Giải chi tiết:

Trước hết ta chứng minh \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)

\(\eqalign{  & VT = C_n^k + C_n^{k + 1}  \cr   &  = {{n!} \over {k!\left( {n - k} \right)!}} + {{n!} \over {\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k - 1} \right)!}}  \cr   &  = {{n!} \over {k!\left( {n - k - 1} \right)!}}\left( {{1 \over {n - k}} + {1 \over {k + 1}}} \right)  \cr   &  = {{n!} \over {k!\left( {n - k - 1} \right)!}}.{{k + 1 + n - k} \over {\left( {n - k} \right)\left( {k + 1} \right)}}  \cr   &  = {{n!\left( {n + 1} \right)} \over {k!\left( {k + 1} \right)\left( {n - k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)}}  \cr   &  = {{\left( {n + 1} \right)!} \over {\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}} = C_{n + 1}^{k + 1} = VP \cr} \)

Ta có:

\(\eqalign{  & \,\,\,\,C_n^k + 2C_n^{k + 1} + C_n^{k + 2}  \cr   &  = C_n^k + C_n^{k + 1} + C_n^{k + 1} + C_n^{k + 2}  \cr   &  = C_{n + 1}^{k + 1} + C_{n + 1}^{k + 2}  \cr   &  = C_{k + 2}^{n + 2}  \cr   & \,\,\,\,C_n^k + 3C_n^{k + 1} + 3C_n^{k + 2} + C_n^{k + 3}  \cr   &  = C_n^k + C_n^{k + 1} + 2\left( {C_n^{k + 1} + C_n^{k + 2}} \right) + C_n^{k + 2} + C_n^{k + 3}  \cr   &  = C_{n + 1}^{k + 1} + 2C_{n + 1}^{k + 2} + C_{n + 1}^{k + 3}  \cr   &  = C_{n + 1}^{k + 1} + C_{n + 1}^{k + 2} + C_{n + 1}^{k + 2} + C_{n + 1}^{k + 3}  \cr   &  = C_{n + 2}^{k + 2} + C_{n + 2}^{k + 3}  \cr   &  = C_{n + 3}^{k + 3}  \cr   &  \Rightarrow 2C_n^k + 5C_n^{k + 1} + 4C_n^{k + 2} +C_n^{k + 3}= C_{k + 2}^{n + 2} + C_{n + 3}^{k + 3} \cr} \)

Chọn A.