a)     Tìm $n\in \mathbb{Z}$ sao cho \(\frac{6}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-        Để $\,\,\frac{6}{n+3}\in \mathbb{Z}\,\,\,\Rightarrow \,6\vdots \,(n+3)\,\,\,\Rightarrow \,n+3\in U(6)$

-        Để chứng minh $\frac{3n+4}{n+1}$ là phân số tối giản ta sẽ chứng minh UCLN (3n+4; n+1) = 1 hoặc UCLN (3n+4; n+1) = –1.

Giải chi tiết:

a)     $n\in \mathbb{Z};\,\,\frac{6}{n+3}\in \mathbb{Z}\,\,\,\Rightarrow \,6\vdots \,(n+3)\,\,\,\Rightarrow \,\left( n+3 \right)\,\in \left\{ -6;\,-3;\,-2;\,-1;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,6 \right\}.$

Vậy $n\in \left\{ -9;\,\,-6;\,\,-5;\,\,-4;\,\,-2;\,\,-1;\,\,0;\,\,3 \right\}$

b)     Gọi $d=UCLN\left( 3n+4;\ n+1 \right).$ Từ đó ta suy ra:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 3n + 4\,\, \vdots \,d\\ n + 1\,\, \vdots \,d \end{array} \right.\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3n + 4\,\, \vdots \,d\\ 3.(n + 1)\,\, \vdots \,d \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3n + 4\,\, \vdots \,d\\ 3n + 3\,\, \vdots \,d \end{array} \right.\\ \Rightarrow {\rm{[}}(3n + 4) - (3n + 3)\,{\rm{]}}\,\, \vdots \,d\\ \Rightarrow (3n + \,4 - 3n - 3)\,\, \vdots \,d\\ \Rightarrow 1 \vdots \,d\,\, \Rightarrow d = 1;\,d = - 1\\ \Rightarrow UCLN(3n + 1;n + 1) = \pm 1 \end{array}$

Vậy $\frac{3n+4}{n+1}$ là phân số tối giản.

Chọn C