a)     Tìm \(n\in \mathbb{Z}\) sao cho \(\frac{6}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-        Để \(\,\,\frac{6}{n+3}\in \mathbb{Z}\,\,\,\Rightarrow \,6\vdots \,(n+3)\,\,\,\Rightarrow \,n+3\in U(6)\)

-        Để chứng minh \(\frac{3n+4}{n+1}\) là phân số tối giản ta sẽ chứng minh UCLN (3n+4; n+1) = 1 hoặc UCLN (3n+4; n+1) = –1.

Giải chi tiết:

a)     \(n\in \mathbb{Z};\,\,\frac{6}{n+3}\in \mathbb{Z}\,\,\,\Rightarrow \,6\vdots \,(n+3)\,\,\,\Rightarrow \,\left( n+3 \right)\,\in \left\{ -6;\,-3;\,-2;\,-1;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,6 \right\}.\)

Vậy \(n\in \left\{ -9;\,\,-6;\,\,-5;\,\,-4;\,\,-2;\,\,-1;\,\,0;\,\,3 \right\}\)

b)     Gọi \(d=UCLN\left( 3n+4;\ n+1 \right).\) Từ đó ta suy ra:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
3n + 4\,\, \vdots \,d\\
n + 1\,\, \vdots \,d
\end{array} \right.\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3n + 4\,\, \vdots \,d\\
3.(n + 1)\,\, \vdots \,d
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3n + 4\,\, \vdots \,d\\
3n + 3\,\, \vdots \,d
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {\rm{[}}(3n + 4) - (3n + 3)\,{\rm{]}}\,\, \vdots \,d\\
\Rightarrow (3n + \,4 - 3n - 3)\,\, \vdots \,d\\
\Rightarrow 1 \vdots \,d\,\, \Rightarrow d = 1;\,d = - 1\\
\Rightarrow UCLN(3n + 1;n + 1) = \pm 1
\end{array}\)

Vậy \(\frac{3n+4}{n+1}\) là phân số tối giản.

Chọn C