Biết rằng \({{2}^{x+\frac{1}{x}}}={{\log }_{2}}\le...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đánh giá giá trị của 2 vế.

Giải chi tiết:

Với \(x>0,\) áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta được: \(x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\Rightarrow {{2}^{x+\frac{1}{x}}}\ge 4\).

Lại có: \(14-(y-2)\sqrt{y+1}=14-(y+1)\sqrt{y+1}+3\sqrt{y+1}\)

Đặt \(t=\sqrt{y+1}\ge 0\). Ta xét hàm số \(f(t)=-{{t}^{3}}+3t+14\) trên \(\left[ 0;+\infty  \right)\) có \(\underset{t\in \left[ 0;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,f(t)=f(1)=16.\)

Vậy \(14-(y-2)\sqrt{y+1}\le 16\Rightarrow {{\log }_{2}}\left[ 14-(y-2)\sqrt{y+1} \right]\le 4\)

Khi đó \({{2}^{x+\frac{1}{x}}}={{\log }_{2}}\left[ 14-(y-2)\sqrt{y+1} \right]\) , dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow P = 2\)

Chọn C.