Cho tam giác ABC có 3 góc \(\widehat {CAB};\wideha...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)      Chứng minh \(\widehat {AMN} = \widehat {BCA};\,\,\widehat {BMO} = \widehat {ABC} \Rightarrow \widehat {OMN} = \widehat {CAB}\). Chứng minh tứ giác AMPN có hai góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau.

b)      Chứng minh \(\widehat {BQP} + \widehat {CQP} = {180^0}.\)

c)      Chứng minh tứ giác \(O{O_2}{O_1}{O_3}\) là tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

Giải chi tiết:

a)      Ta có ngay:

Do BCNM là tứ giác nội tiếp nên: \(\widehat {AMN} = \widehat {BCA}\) (cùng bù với \(\widehat {BMN}\))

Hơn nữa: \(\widehat {BMO} = \widehat {ABC}\) (do tam giác OBM cân tại O) \( \Rightarrow \widehat {OMN} = \widehat {CAB}\)

\( \Rightarrow \widehat {NAP} = \widehat {NMP}.\)

Từ đây suy ra: AMPN là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).

b)      Ta có vì BMPQ là tứ giác nội tiếp nên: \(\widehat {BQP} = \widehat {AMP}\) (cùng bù với \(\widehat {BMP}\))

Vì CNPQ là tứ giác nội tiếp nên: \(\widehat {CQP} = \widehat {ANP}\) (cùng bù với \(\widehat {CNP}\))

Mà: \(\widehat {AMP} + \widehat {ANP} = {180^0}\) (tứ giác AMPN là tứ giác nội tiếp) nên \(\widehat {BQP} + \widehat {CQP} = {180^0}.\)

Mặt khác đây là 2 góc kề nên dễ có: B, Q, C thẳng hàng.

c)      Ta có: \(O{O_2} \bot BM \Rightarrow O{O_2} \bot AB\) vì đường tròn (O) và (O2) cắt nhau tại BM (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \({\rm{O}}{{\rm{O}}_3} \bot AC \to \widehat {{O_2}O{O_3}} = {180^0} - \widehat {ABC}.\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \({O_1}{O_3} \bot PN;{O_1}{O_2} \bot PM \Rightarrow \widehat {{O_2}{O_1}{O_3}} = {180^0} - \widehat {MPN}.\)

Ta lại có: \(\widehat {{O_2}O{O_3}} + \widehat {{O_2}{O_1}{O_3}} = {360^0} - (\widehat {BAC} + \widehat {MPN}) = {180^0}.\)

Do vậy: \({O_1}{O_2}O{O_3}\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰). Vậy 4 điểm \({O_1},{O_2},O,{O_3}\) cùng thuộc một đường tròn.