Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) cho nửa đường...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Giải chi tiết:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AK\).

Do đó \(AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AK \bot KH\).

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AK \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow SB \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SB \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \supset AH \bot SB\\\left( {SAC} \right) \supset HK \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {SBC} \right)} \right)} =\widehat {\left( {AH;HK} \right)} = \widehat {AHK} = {60^0}\end{array}\)

Xét tam giác AHK vuông tại K có:

\(AK=AH.\sin {{60}^{0}}\Leftrightarrow A{{K}^{2}}=\frac{3}{4}A{{H}^{2}}\Leftrightarrow \frac{3}{4}\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{A{{H}^{2}}}\).

Đặt SA = a, áp dụng hệ thức lượng, ta được

\(\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{R}^{2}}}\)\(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{B}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{4{{R}^{2}}}\)

Suy ra \(\frac{3}{4}\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{R}^{2}}} \right)=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{4{{R}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{1}{4}\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{1}{2}\frac{1}{{{R}^{2}}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}=\frac{{{R}^{2}}}{2}\Leftrightarrow a=\frac{R}{\sqrt{2}}\).

Chọn A.