Cho hình nón chứa bốn mặt cầu cùng có bán kí...

A. $r (1 + \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

B. $r (2 + \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3})$

C. $r (1 + \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3})$

D. $r (1 + \sqrt{6} + \frac{2 \sqrt{6}}{3})$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi S, A, B, C lần lượt là tâm của các mặt cầu thứ tư và ba mặt cầu tiếp xúc đáy (như hình vẽ)

Khi đó S.ABC là khối tứ diện đều cạnh 2r.

Goi I là tâm của tam giác $A B C \Rightarrow S i ⊥ (A B C) .$

Tam giác ABC đều cạnh $2 r \Rightarrow A I = \frac{2 r}{\sqrt{3}} .$

Tam giác SAI vuông tại I, có $S I = \sqrt{S A^{2} - I A^{2}} = \sqrt{4 r^{2} - {(\frac{2 r}{\sqrt{3}})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} r .$

Ta thấy rằng $Δ S M H ~ A S I (g . g)$ suy ra

$\frac{S M}{S A} = \frac{S H}{A I} \Rightarrow S M = \frac{S A . A H}{A N} = \frac{2 r . r}{\frac{2 r}{\sqrt{3}}} = r \sqrt{3} .$

Vậy chiều cao của khối nón là $h = S M + S I + I D = r \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3} r + r = r (1 + \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}) .$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm